Per prima cosa, in questo non si userebbe "access" ma "connections".
Inoltre, se per "riempire" intendi "completamente riempire fino a non lasciare più spazio", e preferibile usare "fill up", altrimenti "fill" va bene.

"Too many connections could bring the service down or fill up the database"

Secondo, "accesses" non dovrebbe essere usato con "much" (riservato esclusivamente a gli uncountable) ma con many (escl. countable), ma in questa frase non andrebbe bene, perciò viene usato quanto detto prima.