Nella reazione in questione il Fe si ossida e il Mn si riduce.
Fe 2+ + MnO4 - ---> Fe 3+ + Mn 2+

In particolare il manganese si riduce passando dallo stato di ossidazione +7 nello ione permanganato (MnO₄-) allo stato di ossidazione +2 dello ione manganese bivalente (Mn 2+), quindi si riduce acquisendo 5 elettroni.

Contemporaneamente il ferro si ossida, passando dallo stato di ossidazione +2 dello ione ferroso (Fe 2+) allo stato di ossidazione +3 dello ione ferrico (Fe 3+), quindi si ossida cedendo 1 elettrone.

Ciò significa che 1 mole di permanganato (MnO₄-) acquisendo 5 elettroni è in grado di ossidare 5 moli di ferro (che si ossidano cedendo appunto 5 elettroni).
5Fe 2+ + MnO₄- ---> 5Fe 3+ + Mn 2+

La reazione avviene in ambiente acido (si evince dalla presenza dell'acido solforico, che non partecipa direttamente alla reazione redox, ovvero H S e O dell'acido solforico non vedono variare il proprio stato di ossidazione, ma fornisce "solo" protoni).
5Fe 2+ + MnO₄- + 8H + ---> 5Fe 3+ + Mn 2+

Se abbiamo lavorato in modo corretto, non resta che bilanciare la massa di idrogeno e ossigeno aggiugendo le opportune molecole di acqua; risulta infatti...
5Fe 2+ + MnO₄- + 8H+ ---> 5Fe 3+ + Mn 2+ + 4H₂O

Abbiamo così ottenuto la reazione scritta in forma ionica
5Fe 2+ + MnO₄- + 8H+ ---> 5Fe 3+ + Mn 2+ + 4H₂O

Se adesso vogliamo scrivere la reazione in forma molecolare dobbiamo tener conto di un paio di cose

Lo ione ferrico (Fe 3+) va a formare il solfato ferrico: 1 mole di sale contiene 2 moli di ioni Fe 3+, per cui dovremo raddoppiare tutti i coefficienti stechiometrici...
10Fe 2+ + 2MnO₄- + 16H+ ---> 10Fe 3+ + 2Mn 2+ + 8H₂O

I protoni (H+) derivano dall'acido solforico: siccome l'acido solforico è un acido diprotico ("contiene" 2 protoni acidi), le moli di acido solforico sono esattamente la metà delle moli di protini.
Stesso discorso per il solfato ferrico: siccome, come abbiamo già detto, 1 mole di sale contiene 2 moli di ioni Fe 3+, le moli di sale sono la metà di quelle di ioni Fe 3+.
Da qui.

10FeSO₄ + 2KMnO₄ + 8H₂SO₄ ---> 5Fe₂(SO₄)₃ + 2MnSO₄ + 8H₂O + K₂SO₄