l momento di inerzia non è quello da te indicato, valido per rotazioni intorno a un estremo, bensì I = (1/9) * m * L^2 (da calcolarsi tramite integrale) visto che il centro di rotazione dista 1/3L da un estremo dell'asticella e 2/3 L dall'altro.
Inoltre la conservazione del momento angolare vale solo se il momento torcente risultante sul sistema è nullo. Non è il nostro caso (se così fosse, ad esempio se l'asticella giacesse su un piano orizzontale anziché verticale, l'asticella rimarrebbe in equilibrio), perchè a mettere in moto il sistema è il momento esercitato dalla forza peso nel suo baricentro, rispetto al centro di rotazione.
Rispetto all'origine del sistema di riferimento (centro di rotazione) il baricentro si trova inizialmente ad ascissa L/6, e dunque il momento torcente ha modulo
M = mgsenϑ*(L/6)
con ϑ che varia da 90° (dove il momento è massimo M = mg*(L/6)) a 0° (dove il momento è nullo).
Il problema come vedi è ipercomplesso, perché essendo il momento torcente di modulo variabile, lo è anche l'accelerazione tangenziale α.
Una soluzione possibile è di considerare il valor medio del momento torcente, ricavarne quindi l'accelerazione media e proseguire la risoluzione su questa strada.
Mmedio = mg*(L/12).
Poichè αmedio = Mmedio/I otterremo
αmedio =3g/(4L) = 18,4 rad/s^2.
Ora ricorriamo all'equazione del moto circolare uniformemente accelerato:
ω^2 = ω0 ^2 + 2α Δϑ
Sappiamo che ω0 = 0 e Δϑ = π/2 e dunque
ω=radq(2*18,4*π/2) = 7,6 rad/s.