Nell'equazione di Mayer si tiene sia pressione che volune costante?

Considerando la trasformaz di un gas dallo stato A allo stato B a P costante nell'equazione di Mayer Cp-Cv=R si tiene la P costante ok!? ma anche il Volume? dato che c'è Cv
Inoltre volevo chiedere perchè il Lavoro qui è uguale a nRdT.
Inoltre noto che scrivendo w=PdV=nRdT c'è una certa somiglianza tra questa formula a la nota equazione dei gas ideali quale PV=nRT volevo chiedere il perchè di questa somiglianza? Se c'è.
E visto che "lavoro" è anche uguale a PdV vuol dire che l'equazione dei gas ideali ci mostra implicitamente che lavoro=lavoro?
poichè nell'equazione PV=nRT se si lascia costante solo la P risulta PdV=nRdT giusto!?
E se è così perchè nell'equazione dei gas ideali non è implicitamente inserita anche l'altra forma di energia (quella disorganizzata rispetto al lavoro) cioè il calore? Forse sto sparando un sacco di minchiate e se è così non datemi retta e ditemi se sbaglio XD sto solo facendo ipotesi XD


Tra l'altro se nella formula di mayer Cp-Cv=R (dq-dU=w) si indica la variazione di energia interna vorrà dire che si indicherà anche la variazione di calore e di lavoro? Allora perchè anche q e w come U nella formula non si scrivono dq e dw?
Il primo principio della termodinamica dice che la dU è il bilancio complessivo del lavoro e del calore scambiati dal sistema con l'ambiente. Sono appunto lavoro e calore scambiati con l'ambiente e quindi si parla di variazioni di calore e lavoro o no?

E inoltre come fa Cp-Cv=R ad essere uguale a
q+dU=w ? vi spiego il perchè di questa mia complessità. Tale formula si può scrivere anche
Cp dT n + Cv dT n = R dT n nonchè si può scrivere anche
dH/dT dT n + dU/dT dT n = KndTn (piccola curiosità: la mole n per cui si moltiplica la cost di boltzmann K quanto vale?) e quindi si può anche scriv
dH n + dU n = Kn dT n
e infatti è vero
dH=q solo a P costante vero?
dU=dU ovviamente ma qui non siamo anche a V costante oltre che a P costante? visto che abbiamo anche Cv? e quindi a V costante anche dU è uguale a q vero? come mai invece qui risulta che sia dH che dU sono uguali a q?

Inoltre non riesco a capire come queste equazioni che ho appena scritto siano valide. Per caso nel passaggio:
Cp dT n - Cv dT n = R dT n si semplificano le derivate con le derivate le moli con le moli così che rimanga Cp - Cv = R e si arriva così all'equazione di Mayer?

Tra l'altro altra piccola curiosità, il gioco algebrico dei segni in chimica vale come in matematica in tutto e per tutto? allora perchè da q+w=dU si scrive q-dU=w invece di scrivere q-dU=-w ?