Calcolare velocità angolare asta che ruota intorno ad un perno?

Un’asta omogenea (di dimensioni trasversali trascurabili) di massa M=0,4 Kg e di lunghezza l=40 cm,può ruotare senza attrito in un piano verticale,attorno ad un asse orizzontale e passante per un suo punto O ad una distanza d=(1/3)l dall’estremo di A. Inizialmente l’asta è disposta orizzontalmente e in quiete. Lasciata a sé l’asta entra appunto in rotazione attorno ad O. Calcolare la velocità angolare dell’asta quando passa per la posizione verticale OH.

Allegata immagine del problema

Ciao, per calcolare la velocità angolare dell'asta quando passa per la posizione verticale OH, possiamo utilizzare la conservazione del momento angolare. Iniziamo calcolando il momento angolare iniziale dell'asta quando era orizzontale.

Il momento angolare (L) di un oggetto in rotazione è dato da:

L = I * ω

Dove:
L = Momento angolare
I = Momento di inerzia
ω = Velocità angolare

Per un'asta sottile, il momento di inerzia rispetto a un estremo e per una rotazione attorno a un asse perpendicolare all'asta è dato da:

I = (1/3) * M * l^2

Dove:
M = Massa dell'asta
l = Lunghezza dell'asta

In questo caso, M = 0,4 kg e l = 40 cm = 0,4 m, quindi:

I = (1/3) * 0,4 kg * (0,4 m)^2 = 0,02133 kg * m^2

Ora, dobbiamo calcolare la velocità angolare iniziale (ω₀) quando l'asta è orizzontale. Il momento angolare iniziale (L₀) è zero perché l'asta è inizialmente ferma. Quindi:

L₀ = 0

Usando la conservazione del momento angolare, possiamo scrivere:

L₀ = L

0 = I * ω₀

ω₀ = 0

Quindi, la velocità angolare iniziale è zero. Ora, dobbiamo calcolare la velocità angolare quando l'asta passa per la posizione verticale OH. In questa posizione, l'asta si trova a una distanza d = (1/3)l dall'estremità, quindi d = (1/3) * 0,4 m = 0,1333 m.

Il momento angolare (L') in questa posizione sarà lo stesso del momento angolare iniziale, ma ora l'asta ha una velocità angolare non nulla ω':

L' = I * ω'

L₀ = L'

0 = I * ω'

ω' = 0

Quindi, anche in questo punto, la velocità angolare è zero.

Pertanto, la velocità angolare dell'asta quando passa per la posizione verticale OH è zero.

l momento di inerzia non è quello da te indicato, valido per rotazioni intorno a un estremo, bensì I = (1/9) * m * L^2 (da calcolarsi tramite integrale) visto che il centro di rotazione dista 1/3L da un estremo dell'asticella e 2/3 L dall'altro.
Inoltre la conservazione del momento angolare vale solo se il momento torcente risultante sul sistema è nullo. Non è il nostro caso (se così fosse, ad esempio se l'asticella giacesse su un piano orizzontale anziché verticale, l'asticella rimarrebbe in equilibrio), perchè a mettere in moto il sistema è il momento esercitato dalla forza peso nel suo baricentro, rispetto al centro di rotazione.
Rispetto all'origine del sistema di riferimento (centro di rotazione) il baricentro si trova inizialmente ad ascissa L/6, e dunque il momento torcente ha modulo
M = mgsenϑ*(L/6)
con ϑ che varia da 90° (dove il momento è massimo M = mg*(L/6)) a 0° (dove il momento è nullo).
Il problema come vedi è ipercomplesso, perché essendo il momento torcente di modulo variabile, lo è anche l'accelerazione tangenziale α.
Una soluzione possibile è di considerare il valor medio del momento torcente, ricavarne quindi l'accelerazione media e proseguire la risoluzione su questa strada.
Mmedio = mg*(L/12).
Poichè αmedio = Mmedio/I otterremo
αmedio =3g/(4L) = 18,4 rad/s^2.
Ora ricorriamo all'equazione del moto circolare uniformemente accelerato:
ω^2 = ω0 ^2 + 2α Δϑ
Sappiamo che ω0 = 0 e Δϑ = π/2 e dunque
ω=radq(2*18,4*π/2) = 7,6 rad/s.