Problema acqua del bagno che al mattino è sempre fredda

Ciao,

a casa mia ho il problema che al mattino l'acqua del bagno è sempre fredda, specialmente quando comincia a fare freddo fuori, e bisogna farla scorrere 5 minuti (d'orologio!) per far si che cominci ad uscire calda: alla faccia del risparmio d'acqua!

Io credo che sia dovuto al fatto che ho la caldaia in cucina e il bagno dalla parte opposta della casa, con tutta la sala in mezzo. Quindi i tubi fanno tutto il giro della casa prima di arrivare in bagno (circa 10m) e prima di far uscire l'acqua calda, si deve svuotare quella fredda. Dico bene?

Anche perchè la caldaia ha un termometro che tiene una temperatura minima, quando l'acqua si raffredda troppo si accende così da tenere l'acqua sempre pronta e calda.

C'è qualcosa che si possa fare per ovviare a questo inutile spreco d'acqua?

Spostare la caldaia forse?
(Però bisogna poi spostare anche il tubo del gas e forse spaccare tutto?)

Recuperare l'acqua che spreco?
(il fatto che sono tanti litri, saranno almeno due secchi, e che ci faccio?)

Usare l'acqua fredda per lavarsi?
(io forse si, ma ho anche un bambino piccolo da cambiare e lavare)

Poi non saprei, qualcuno ha soluzioni valide?
Grazie mille