Funzione costante nel teorema di bolzano-weierstrass

qualcuno potrebbe spiegarmi nei dettagli questo teorema?
nella dimostrazione non capisco già la prima frase...mi domando "perchè dovrebbe esserci un valore che si ripete infinite volte se l'insieme I dei valori assunti dalla successione a con n è finito?" e non riesco a rispondermi...di conseguenza non riesco a capire anche il caso in cui I è infinito...
aiutatemi please

l'insieme dei valori al variare di n è infinito, invece l'insieme dei valori che la funzione può assumere è finito, basta pensare ad una funzione costante.