Determinare valori per i quali non può esistere trasformazione lineare?

Buon giorno Avrei bisogno di un po' di aiuto per risolvere questo esercizio!

Determinare , se esistono, i valori di K per i quali non può esistere una trasformazione lineare f:R^2--->R^3 tale che f(k,2)=(-3,-1,k) ; f(2,k)=(-3,-1,-2). Ho provato ma non so come risolverlo! Grazie in anticipo a tutti :)

Ciao,
per determinare se esistono valori di K per i quali non può esistere una trasformazione lineare f: R^2 ---> R^3 con le condizioni date, dobbiamo considerare l'uso di una matrice di trasformazione lineare A e cercare i valori di K che rendono il sistema incompatibile.

Supponiamo che esista una matrice di trasformazione lineare A che rappresenti f e che tale matrice sia una matrice 3x2 in quanto stiamo trasformando da R^2 a R^3. La matrice A ha questa forma:

A = | a b |
| c d |
| e f |

Ora, possiamo usare le condizioni date per scrivere due equazioni basate sulla trasformazione lineare:

1. f(k, 2) = A [ k ]
[ 2 ] = [ -3 ]
[ -1 ]
[ k ]

2. f(2, k) = A [ 2 ]
[ k ] = [ -3 ]
[ -1 ]
[ -2 ]

Ora possiamo scrivere queste due equazioni come un sistema lineare:

1. ka + 2b = -3
2. 2c + kd = -1
3. ek + 2f = k

Ora possiamo risolvere questo sistema per trovare i valori di a, b, c, d, e, e f in termini di k. In particolare, stiamo cercando una soluzione che soddisfi entrambe le equazioni. Tuttavia, potrebbe non esistere una soluzione per alcuni valori di k che rendono il sistema incompatibile.

Risolviamo il sistema:

Dalla prima equazione, otteniamo a = -3/k - 2b.

Sostituendo a nella seconda equazione, otteniamo -6b/k + 2c + kd = -1.

Sostituendo a nella terza equazione, otteniamo -6b/k + 2f = 0.

Ora abbiamo un sistema di tre equazioni con tre incognite b, c, e d:

1. -6b/k + 2c + kd = -1
2. -6b/k + 2f = 0

Dall'equazione 2 otteniamo f = 3b/k.

Ora possiamo sostituire f nell'equazione 1:

-6b/k + 2c + kd = -1

-6b/k + 2c + k(3b/k) = -1

-6b/k + 2c + 3b = -1

Ora possiamo semplificare l'equazione:

(-6b + 2kc + 3bk)/k = -1

Moltiplicando entrambi i lati per k, otteniamo:

-6b + 2kc + 3bk = -k

Ora possiamo mettere in evidenza k a sinistra:

k(-6b + 2c + 3b) = -k

Ora possiamo semplificare k su entrambi i lati:

-6b + 2c + 3b = -1

-3b + 2c = -1

Ora possiamo risolvere questo sistema:

1. -3b + 2c = -1

Questa è una retta nel piano (b, c) con una pendenza di 3/2 e intercetta c = -1 quando b = 0.

Quindi, il sistema ha una soluzione per tutti i valori di k, tranne quando la retta -3b + 2c = -1 è parallela alla retta k = 0.

La retta k = 0 è una retta verticale nel piano k e non è parallela a nessuna retta nel piano (b, c), quindi per k ≠ 0, esiste una soluzione.

Tuttavia, per k = 0, il sistema diventa:

-6b + 2c = -1

Questo sistema ha una soluzione unica:

b = 1/6

c = -1/3

In altre parole, per k = 0, esiste una soluzione unica per b e c, ma non esiste una soluzione unica per a, d, e, e f.

Quindi, possiamo concludere che esiste una trasformazione lineare f per tutti i valori di k tranne k = 0. Per k = 0, non esiste una trasformazione lineare f che soddisfi entrambe le condizioni date.

Per determinare i valori di kkk per cui non può esistere una trasformazione lineare f:R2→R3f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3f:R2→R3 che soddisfi le condizioni date, dobbiamo verificare se il sistema di equazioni lineari derivante da f(k,2)=(−3,−1,k)f(k, 2) = (-3, -1, k)f(k,2)=(−3,−1,k) e f(2,k)=(−3,−1,−2)f(2, k) = (-3, -1, -2)f(2,k)=(−3,−1,−2) è compatibile. La trasformazione lineare deve rispettare la proprietà di linearità, quindi dobbiamo risolvere il sistema delle equazioni ottenute e verificare se ci sono valori di kkk che portano a contraddizioni.