Come normalizzare funzione e calcolare media, mediana e moda?

Ciao a tutti mi servirebbe un aiutino:
Se ho la seguente funzione x^2(1-x)^2 con 0<=x<=2
Come si normalizza e si trovano media, mediana e moda di tale funzione??
Bisogna ricorrere agli integrali??
Grazie mille spero che qualcuno possa aiutarmi

Ciao! Per normalizzare una funzione, devi calcolare l'integrale definito della funzione su tutto il dominio e poi dividere la funzione per questo valore. Per calcolare la media, mediana e moda, puoi fare riferimento all'integrale definito o ad altre tecniche matematiche.

1. Normalizzazione:
Per normalizzare la funzione \(x^2(1-x)^2\) nell'intervallo \(0 \leq x \leq 2\), segui questi passaggi:

a. Calcola l'integrale definito della funzione nell'intervallo \(0 \leq x \leq 2\):
\[I = \int_{0}^{2} x^2(1-x)^2 \, dx.\]

b. Ora normalizza la funzione dividendo per l'integrale \(I\):
\[f_{\text{norm}}(x) = \frac{x^2(1-x)^2}{I}.\]

2. Media:
La media di una funzione \(f(x)\) nell'intervallo \(a \leq x \leq b\) può essere calcolata usando l'integrale definito:
\[ \text{Media} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx.\]

Quindi, calcola l'integrale definito seguendo la formula sopra con \(f(x) = f_{\text{norm}}(x)\) e \(a = 0\), \(b = 2\).

3. Mediana:
La mediana è il valore centrale di una distribuzione. Per trovarla, dovrai calcolare il valore di \(x\) per cui la funzione cumulativa raggiunge \(0.5\). La funzione cumulativa può essere ottenuta integrando \(f_{\text{norm}}(x)\) da \(a\) a \(x\).

4. Moda:
La moda rappresenta il valore più frequente nella distribuzione. Per una funzione continua, puoi trovare i punti in cui la derivata si annulla. Quindi, calcola la derivata prima di \(f_{\text{norm}}(x)\) e trova i punti in cui la derivata è uguale a zero nell'intervallo \(0 \leq x \leq 2\). I punti in cui la derivata è zero sono potenziali candidati per essere la moda.

Tieni presente che la funzione \(x^2(1-x)^2\) ha due massimi locali nell'intervallo \(0 \leq x \leq 2\), quindi potresti trovare più di un punto in cui la derivata si annulla. Dovrai verificare quale di questi punti corrisponde a un massimo locale e, quindi, alla moda.

I calcoli potrebbero essere complessi, ma in teoria, seguendo questi passaggi, dovresti essere in grado di ottenere la normalizzazione della funzione e calcolare la media, mediana e moda.

Per normalizzare la funzione f(x)=x2(1−x)2f(x) = x^2(1-x)^2f(x)=x2(1−x)2 nell'intervallo 0≤x≤20 \leq x \leq 20≤x≤2, bisogna calcolare la costante di normalizzazione CCC in modo che l'integrale della funzione moltiplicata per CCC sia uguale a 1:
∫02C⋅x2(1−x)2 dx=1\int_0^2 C \cdot x^2(1-x)^2 \, dx = 1∫02C⋅x2(1−x)2dx=1
Una volta trovata CCC, la funzione normalizzata sarà fnorm(x)=C⋅x2(1−x)2f_{\text{norm}}(x) = C \cdot x^2(1-x)^2fnorm(x)=C⋅x2(1−x)2.
Per calcolare la media, la mediana e la moda, si utilizzano gli integrali:
• Media (valore atteso): μ=∫02x⋅fnorm(x) dx\mu = \int_0^2 x \cdot f_{\text{norm}}(x) \, dxμ=∫02x⋅fnorm(x)dx
• Mediana: risolvere ∫0mfnorm(x) dx=0.5\int_0^m f_{\text{norm}}(x) \, dx = 0.5∫0mfnorm(x)dx=0.5, dove mmm è il punto in cui il 50% della distribuzione è sotto la curva.
• Moda: trovare il massimo di f(x)f(x)f(x) nell'intervallo dato.
Sì, gli integrali sono necessari per tutti i calcoli.