Come determinare dimensione e base di U, V e intersezione?

In M2(R) si considerino i sottospazi vettoriali
U=(x1 x2) appartenete ad M2(R) / x1+x3=0]
(x3 x4)
V=(x1 x2) appartenete ad M2(R) / x1-x3=x2=0]
(x3 x4)
Determinare
(a)la dimensione e una base di U e V
(b) la dimensione e una base di U + V
(c) la dimensione e una base di U intersezione V

(a) Per determinare la dimensione e una base di U, dobbiamo trovare il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in U.

Per U, abbiamo la condizione che x1 + x3 = 0. Possiamo scrivere questa equazione come x1 = -x3. Quindi, il vettore U può essere scritto come:

U = (x1, x2)
(x3, x4)

Sostituendo x1 = -x3, otteniamo:

U = (-x3, x2)
(x3, x4)

Ora possiamo esprimere U come combinazione lineare di due vettori:

U = x2 * (0, 1) + x3 * (-1, 0) + x4 * (0, 0)

Da questa rappresentazione, vediamo che il vettore (0, 0) non contribuisce a creare nuovi vettori linearmente indipendenti. Quindi, una base per U è data dai vettori (0, 1) e (-1, 0).

La dimensione di U è 2 e una possibile base è {(0, 1), (-1, 0)}.

Per V, abbiamo le condizioni x1 - x3 = x2 = 0. Possiamo scrivere V come:

V = (x1, x2)
(x3, x4)

Sostituendo x1 = x3 e x2 = 0, otteniamo:

V = (x3, 0)
(x3, x4)

Possiamo esprimere V come combinazione lineare di due vettori:

V = x3 * (1, 0) + x4 * (0, 1)

Dalla rappresentazione sopra, vediamo che il vettore (1, 0) e il vettore (0, 1) sono linearmente indipendenti. Quindi, una base per V è data dai vettori (1, 0) e (0, 1).

La dimensione di V è 2 e una possibile base è {(1, 0), (0, 1)}.

(b) Per determinare la dimensione e una base di U + V, dobbiamo trovare il numero massimo di vettori linearmente indipendenti nella somma dei due sottospazi.

Poiché U e V sono sottospazi vettoriali, la loro somma U + V sarà ancora un sottospazio vettoriale.

Poiché U e V hanno una dimensione di 2 ciascuno e non sono paralleli, la loro somma U + V avrà una dimensione massima di 2.

Per trovare una base per U + V, possiamo combinare le basi di U e V. Una possibile base per U + V è quindi {(0, 1), (-1, 0), (1, 0), (0, 1)}.

La dimensione di U + V è 2 e una possibile base è {(0, 1), (-1, 0), (1, 0), (0, 1)}.

(c) Per determinare la dimensione e una base di U ∩ V, dobbiamo trovare il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che appartengono sia a U che a V.

Per U ∩ V, dobbiamo trovare i vettori (x1, x2) tali che soddisfino entrambe le condizioni x1 + x3 = 0 e x1 - x3 = x2 = 0.

Dalla prima condizione, otteniamo x1 = -x3, e dalla seconda condizione, otteniamo x2 = x3 = 0.

Quindi, i vettori in U ∩ V saranno della forma:

(x1, x2) = (-x3, 0)

Possiamo vedere che in U ∩ V, x2 deve essere uguale a 0 e quindi, x1 deve essere uguale a 0. Pertanto, il vettore (0, 0) è l'unico vettore che appartiene sia a U che a V.

La dimensione di U ∩ V è 0 e una possibile base è {(0, 0)}.