Come determinare dimensione e base di U, V e intersezione?

In M2(R) si considerino i sottospazi vettoriali
U=(x1 x2) appartenete ad M2(R) / x1+x3=0]
(x3 x4)
V=(x1 x2) appartenete ad M2(R) / x1-x3=x2=0]
(x3 x4)
Determinare
(a)la dimensione e una base di U e V
(b) la dimensione e una base di U + V
(c) la dimensione e una base di U intersezione V

(a) Per determinare la dimensione e una base di U, dobbiamo trovare il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in U.

Per U, abbiamo la condizione che x1 + x3 = 0. Possiamo scrivere questa equazione come x1 = -x3. Quindi, il vettore U può essere scritto come:

U = (x1, x2)
(x3, x4)

Sostituendo x1 = -x3, otteniamo:

U = (-x3, x2)
(x3, x4)

Ora possiamo esprimere U come combinazione lineare di due vettori:

U = x2 * (0, 1) + x3 * (-1, 0) + x4 * (0, 0)

Da questa rappresentazione, vediamo che il vettore (0, 0) non contribuisce a creare nuovi vettori linearmente indipendenti. Quindi, una base per U è data dai vettori (0, 1) e (-1, 0).

La dimensione di U è 2 e una possibile base è {(0, 1), (-1, 0)}.

Per V, abbiamo le condizioni x1 - x3 = x2 = 0. Possiamo scrivere V come:

V = (x1, x2)
(x3, x4)

Sostituendo x1 = x3 e x2 = 0, otteniamo:

V = (x3, 0)
(x3, x4)

Possiamo esprimere V come combinazione lineare di due vettori:

V = x3 * (1, 0) + x4 * (0, 1)

Dalla rappresentazione sopra, vediamo che il vettore (1, 0) e il vettore (0, 1) sono linearmente indipendenti. Quindi, una base per V è data dai vettori (1, 0) e (0, 1).

La dimensione di V è 2 e una possibile base è {(1, 0), (0, 1)}.

(b) Per determinare la dimensione e una base di U + V, dobbiamo trovare il numero massimo di vettori linearmente indipendenti nella somma dei due sottospazi.

Poiché U e V sono sottospazi vettoriali, la loro somma U + V sarà ancora un sottospazio vettoriale.

Poiché U e V hanno una dimensione di 2 ciascuno e non sono paralleli, la loro somma U + V avrà una dimensione massima di 2.

Per trovare una base per U + V, possiamo combinare le basi di U e V. Una possibile base per U + V è quindi {(0, 1), (-1, 0), (1, 0), (0, 1)}.

La dimensione di U + V è 2 e una possibile base è {(0, 1), (-1, 0), (1, 0), (0, 1)}.

(c) Per determinare la dimensione e una base di U ∩ V, dobbiamo trovare il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che appartengono sia a U che a V.

Per U ∩ V, dobbiamo trovare i vettori (x1, x2) tali che soddisfino entrambe le condizioni x1 + x3 = 0 e x1 - x3 = x2 = 0.

Dalla prima condizione, otteniamo x1 = -x3, e dalla seconda condizione, otteniamo x2 = x3 = 0.

Quindi, i vettori in U ∩ V saranno della forma:

(x1, x2) = (-x3, 0)

Possiamo vedere che in U ∩ V, x2 deve essere uguale a 0 e quindi, x1 deve essere uguale a 0. Pertanto, il vettore (0, 0) è l'unico vettore che appartiene sia a U che a V.

La dimensione di U ∩ V è 0 e una possibile base è {(0, 0)}.

Per risolvere questo esercizio, segui i seguenti passaggi:
(a) Dimensione e base di UUU e VVV:

1. Per UUU: La condizione è x1+x3=0x_1 + x_3 = 0x1+x3=0, quindi x1=−x3x_1 = -x_3x1=−x3. Quindi ogni vettore in UUU avrà la forma (−x3,x2,x3,x4)\left( -x_3, x_2, x_3, x_4 \right)(−x3,x2,x3,x4). La base di UUU è data dai vettori indipendenti che generano il sottospazio:
{(−1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)}\left\{ (-1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) \right\}{(−1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)}
La dimensione di UUU è 3.

2. Per VVV: La condizione è x1−x3=0x_1 - x_3 = 0x1−x3=0 e x2=0x_2 = 0x2=0, quindi x1=x3x_1 = x_3x1=x3 e x2=0x_2 = 0x2=0. Ogni vettore in VVV ha la forma (x3,0,x3,x4)(x_3, 0, x_3, x_4)(x3,0,x3,x4). La base di VVV è data dai vettori:
{(1,0,1,0),(0,0,0,1)}\left\{ (1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) \right\}{(1,0,1,0),(0,0,0,1)}
La dimensione di VVV è 2.

(b) Dimensione e base di U+VU + VU+V: L'unione di UUU e VVV si ottiene combinando le basi di UUU e VVV, tenendo conto di eventuali vettori linearmente dipendenti. La base di U+VU + VU+V è:
{(−1,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1)}\left\{ (-1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) \right\}{(−1,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1)}
La dimensione di U+VU + VU+V è 4.

(c) Dimensione e base di U∩VU \cap VU∩V: L'intersezione di UUU e VVV contiene i vettori che soddisfano sia x1+x3=0x_1 + x_3 = 0x1+x3=0 che x1−x3=0x_1 - x_3 = 0x1−x3=0, da cui x1=0x_1 = 0x1=0 e x3=0x_3 = 0x3=0. I vettori in U∩VU \cap VU∩V sono della forma (0,x2,0,x4)(0, x_2, 0, x_4)(0,x2,0,x4). La base di U∩VU \cap VU∩V è:
{(0,1,0,0),(0,0,0,1)}\left\{ (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) \right\}{(0,1,0,0),(0,0,0,1)}

La dimensione di U∩VU \cap VU∩V è 2.