Come studiare convergenza serie ∑n=1∞ sin(n!)2^[-n^2-log(n)+cos(n)]?
 

salve avrei bisogno di aiuto con lo studio della convergenza della serie:
∑n=1∞ sin(n!)2^[−n2−log(n)+cos(n)]
grazie

per vedere meglio:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...s%20%28n%29%7D

Ciao,
per studiare la convergenza della serie ∑n=1∞ sin(n!)2^[-n^2-log(n)+cos(n)], possiamo utilizzare il criterio del confronto o il criterio del confronto diretto.

Criterio del confronto:
Consideriamo la serie ∑n=1∞ a_n, dove a_n = |sin(n!)2^[-n^2-log(n)+cos(n)]|. Per la convergenza della serie originale, dobbiamo dimostrare che la serie ∑n=1∞ a_n converge.

Poiché la funzione sin(n!) è limitata tra -1 e 1, possiamo scrivere:
|sin(n!)2^[-n^2-log(n)+cos(n)]| ≤ 2^[-n^2-log(n)+cos(n)]

Per dimostrare la convergenza della serie originale, è sufficiente dimostrare la convergenza della serie geometrica ∑n=1∞ 2^[-n^2-log(n)+cos(n)].

Considerando che -n^2-log(n)+cos(n) ≤ 0 per ogni n, otteniamo:
2^[-n^2-log(n)+cos(n)] ≤ 2^0 = 1

Quindi, abbiamo la serie geometrica ∑n=1∞ 2^[-n^2-log(n)+cos(n)] ≤ ∑n=1∞ 1, che è una serie armonica che sappiamo essere divergente.

Conclusione: Utilizzando il criterio del confronto, possiamo affermare che la serie originale ∑n=1∞ sin(n!)2^[-n^2-log(n)+cos(n)] diverge.

Si prega di notare che l'analisi delle serie può essere complessa e richiede un'approfondita comprensione dei criteri di convergenza delle serie. Assicurati di consultare anche altre fonti e verificare attentamente i calcoli per confermare i risultati.

Per studiare la convergenza della serie

∑n=1∞sin⁡(n!)2[−n2−log⁡(n)+cos⁡(n)]\sum_{n=1}^{\infty} \sin(n!) 2^{[-n^2 - \log(n) + \cos(n)]}n=1∑∞sin(n!)2[−n2−log(n)+cos(n)]
puoi seguire questi passi:

1. Comportamento di sin⁡(n!)\sin(n!)sin(n!): Poiché sin⁡(n!)\sin(n!)sin(n!) è limitato, ovvero ∣sin⁡(n!)∣≤1|\sin(n!)| \leq 1∣sin(n!)∣≤1, non influisce sul comportamento asintotico della serie.

2. Comportamento dell'esponente: L'esponente dell'espressione 2[−n2−log⁡(n)+cos⁡(n)]2^{[-n^2 - \log(n) + \cos(n)]}2[−n2−log(n)+cos(n)] è dominato dal termine −n2-n^2−n2, poiché cresce molto più rapidamente rispetto agli altri termini (logaritmico e coseno). Questo porta a un rapido decadimento del termine 2−n2−log⁡(n)+cos⁡(n)2^{-n^2 - \log(n) + \cos(n)}2−n2−log(n)+cos(n) per valori crescenti di nnn.

3. Test del confronto: Poiché l'espressione esponenziale decresce molto rapidamente, possiamo confrontare questa serie con una serie convergente, come ∑2−n2\sum 2^{-n^2}∑2−n2, che converge rapidamente.

Conclusione: La serie converge, grazie al rapido decadimento dell'esponente −n2-n^2−n2.